けんだまの日記

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メルカトール級数

パズル、問題の第10回目になります。
パズル、問題はもの凄く更新が不定期でゴメンナサイ!

しかも今回のは高校数学Ⅲの範囲の出題なんです。。。
極限の無限級数の分野です。
数学Ⅲ好きな人はやってチョ。
ただし大学での微積分学での解き方はボクも知らないので、そいつは勘弁(´・ω・`)
では、どうぞ。









   ◆メルカトール級数◆

メルカトール級数
です(ぉ
このような数列をメルカトール級数といいます。
頑張ってみてちょ。
ちなみにグーグルで検索してもあまりHITしなかったのが驚きでした。










級数ってのは、ある規則で並んだ数列を、順番に足していきます。
無限級数というくらいなので、無限回足していきます。
そして最終的にある数に限りなく近づいていきます。
その数に定まるのではなく、限りなく近づくってとこがミソです。

アキレスと亀のお話の時(2005/05/28)に一回出した分かりやすい無限級数を、
もう一度紹介したいと思います。




◆下の無限級数の和について考えて見ましょう。
20050606220935.jpg

1/2倍ずつされたものが並んで足されています。
数列で見るとこれは「等比数列」というものですね。
等比数列とは、隣の数字にある決まった数をかけて並べられている数列のことです。
この場合は無限回足しているので「無限等比級数」といいます。

ちなみにこの無限等比級数は、足していくとに近づいていきます。
試しに5個くらい足してみてください。それだけでも1に近づいてるって分かるはずです。


ではこのことを、数学Ⅲでの証明ではなく、誰でも分かるような図形で証明してみましょう。




20050606221414.jpg
上の長方形の面積を1とします。
下の長方形を半分半分と割っていくと、面積が1/2,1/4・・・の長方形がどんどんできていきます。
それらを足し合わせると、もちろん1になります。
元々面積1の長方形を割っていったのですから当然ですね?

つまりこの足し算は、
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32・・・=1
と限りなく1に近づくということが証明できたのです。


俺は小学生の時にこれをドナルド・ダックの算数みたいなビデオで
見たことがありました。
メッチャ面白いなぁと思った記憶があります(゚∀゚)

(2005/05/28の記事の一部よりコピペ)



高校の数学はマジ面白いよね!?
文系の人は数学Ⅲを勉強しなくてマジかわいそうだよ!


おっとこの記事のメインのメルカトール級数頑張って解いてみてね(´ー`*)
残念ながらこれは数学Ⅲの知識がないと解けないんだけどね。。。
とは言ってもかなり特殊な解き方なので、
分からなかったら素直に答えが載るまで待ってください(ぇ

ではまた!



関連記事:■アキレスと亀(2005/05/28)
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コメント

HaHa-
入試頻出の問題だな。
1-x+x・x-x・x・x+x・x・x・x-(省略)+{(-x)の(n-1)乗}=[1-{(-x)のn乗}]/(1+x)
両辺を[0,1]で積分する。
1-(1/2)+(1/3)-(1/4)・・・{(-1)のn乗}(1/n)=∫[1-{(-x)のn乗}]/(1+x)dx(但しx;0→1)
Sn=∑{(-1)の(k-1)乗}/k(但しk=1→n)とおくと
|Sn-∫1/(1+x)dx(但しx=0→1)|
=|(xのn乗)/(1+x)dx(但しx=0→1)|
だから
0
=<|Sn-∫1/(1+x)dx(但しx=0→1)|
<|∫(xのn乗)dx(但しx=0→1)|
=1/(n+1)
→0(n→∞の時)
はさみうちの原理より
(求める値)=∫(1/1+x)dx
=[log(1+x)](0→1)
=log2
完全解でスマソ。

  • 2006/01/21(土) 01:12:01 |
  • URL |
  • nemo #-
  • [ 編集]

多少違うところもあるけどほぼ合ってるよ(´ー`*)
|∫(xのn乗)/(1+x)dx(但しx=0→1)|<|∫(xのn乗)dx(但しx=0→1)|
の証明があったらなお良かったね。

でも考え方はGreat!!
でももうちょい簡単に解けるんですこれが。
区分級積を使った解き方も紹介するよよよ。

  • 2006/01/22(日) 13:46:28 |
  • URL |
  • けんだま #-
  • [ 編集]

グゥーレイトォー!
数だけは多いぜ!
区分旧跡期待してるぜ!

  • 2006/01/22(日) 14:11:43 |
  • URL |
  • nemo #-
  • [ 編集]

つまり赤ん坊の意識をジョリーン達からそらせばいいわけだ

  • 2006/01/23(月) 00:51:51 |
  • URL |
  • 家電 #fpwaLjMk
  • [ 編集]

>家電
( ´_ゝ`)

あ、乾燥機からコメントが来てる( ´_ゝ`)

  • 2006/01/28(土) 07:55:01 |
  • URL |
  • けんだま(管理人) #-
  • [ 編集]

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