けんだまの日記

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アキレスと亀

 はい、こんにちはー。
久々のパズル、問題第7回です。
実はこの問題大学の数学の教科書に載ってたんですが、
面白かったので紹介します。
でも実際は高校の数学Ⅲが出来ないと解けないので、やってない人はゴメンナサイ。
鋭い中学生くらいなら出来るかもしれませんけど・・・(ムリカ










   ◆アキレスと亀◆

アキレスと亀という有名なパラドックスがある。足が速いので有名なギリシャ神話の
英雄アキレスが亀と競争する。下の図のように、A点にいるアキレスが、
B点にいる亀を追いかける。しかし、アキレスがB点に着いた時には、亀もゆっくりでは
あるが動いているから、その先のC点にいってしまう。アキレスがCについたならば、
亀はDに進む。このように亀は少しづつ選考して、
アキレスは永久に亀に追いつかないというのです。

さて、あなたはこのパラドックスをどのように解釈しますか?

20050528141440.jpg


アキレスは足が速いから、本当はアキレスの速さが亀の倍の速さなどということは
ありえないが、話を簡単にするためにアキレスの速さが亀の2倍であるとし、
亀は時速1kmで動き、アキレスは時速2kmで進むとする。またアキレスの1km前の地点Bに
いるとする。

アキレスがBまで進むのには1/2時間かかる。その間に亀は1/2動きCまで進む。
よってこのときのアキレスと亀の距離は1/2kmである。アキレスがBからCまで進むのには
1/4時間、その間に亀は1/4km動きDまで進む。
と、これを繰り返す。
この動作を何回繰り返しても、アキレスは亀に微妙に追いつけないのである。



いやゴメン、結構難しいね?
でも不思議でしょ?フツーに考えてみてよ。アキレスは亀の2倍速いんだから
絶対いつかは追いつくでしょ?
だけど数式にしてみると何回繰り返しても微妙に追いつかないんだよ!

さて、何ででしょうね?
分からなくてもいいから少し考えてみてほしいです。

>>アキレスと亀の答え
  ~・~数学Ⅲを使った考え方~・~

上の考え方だと、限りなくアキレスと亀の距離は0に近づくけど追いつかない
って感じですよね?
ここで距離ではなく時間について考えて見ましょう。

上の動作を4回繰り返した時に経過した時間は
20050606214549.jpg
である。n回目までだと、経過した時間は
20050606214651.jpg
である。
この動作を繰り返せば繰り返すほど距離は0に近づくんでしたよね?
同時に経過した時間は、下の式より限りなく1に近づくんです(n→∞)







んん!?

1に近づくってことは、経過した時間は1時間に近づくってことです。
つまり
        経過した時間    → 1時間
        アキレスと亀の距離 → 0
に近づくってことです。
しかしこの極限は不定形でもなんでもなく、1時間後という時間は存在します。
つまり答えはこうです。

経過した時間が1時間未満ではアキレスが亀に追いつくことはないが、
1時間たったらアキレスは亀に追いつくのである。


このパラドックスは回数の無限と時間の無限を混同していることから生じているのである。



  ~・~俺的小学生でも分かる考え方~・~  (ぉ

20050606220935.jpg
このような足し算は永遠と続くんですが、
足す数が段々小さくなっていくため、ある程度ある値に近づきます。
とは言っても全然イメージがわかないので、下の図を使って考えて見ましょう。


20050606221414.jpg
上の長方形の面積を1とします。
下の長方形を半分半分と割っていくと、面積が1/2,1/4・・・の長方形がどんどんできていきます。
それらを足し合わせると、もちろん1になります。
元々面積1の長方形を割っていったのですから当然ですね?

つまりこの足し算は、限りなく1に近づくということが証明できたのです。

俺は小学生の時にこれをドナルド・ダックの算数みたいなビデオで
見て、面白いなぁと思った記憶があります(゚∀゚)




さてここでもうひとつ。もう一回問題を見てみましょう。

アキレスの速さが亀の2倍であるとし、亀は自足1kmで動き、
アキレスは時速2kmで進むとする。
またアキレスの1km前の地点Bにいるとする。

実はアキレスと亀がスタートしてから1時間後のことを考えてみると、
アキレスと亀は同じ位置にいることが明らかであることが分かるのです。
問題ではとても面倒な考えをしてたのですね。
この考えだとパラドックス(証明しましたが)も生まれないし当たり前のことなんですね。

と、ひっかけ問題みたいでした。





いかがだったでしょうか?
小学生でも分かりませんね(汗)
ご意見等ありましたら、コメントかWeb拍手でお願いします。







Web拍手いただきましたー。

アキレスのアキレス腱が切れたから亀に追いつけないんだYO!

  いや、正解です(ぇ
  きっとそうなんだよー。アキレス腱の名前の由来もそーなんだよー(ウソ


数Ⅲはわかんないけど、こっれてアキレスさんが亀さんのいた場所に着くことを前提としてるから
二人の距離は限りなく近くはなるけど追いつくことはないんジャマイカ?
間違ってるポ


  いや、合ってるんですよ。
  この条件だとアキレスは亀に追いつきません。
  だけど、この問題の主旨はフツーに考えたら追いつくはずなんだけど
  このように考えると追いつかないというパラドックスを証明しなさい
  って感じの問題だったんです。
  おしいっすよ(´・ω・`)



はい、コメントありが㌧。
これからも気軽にメッセージくださいな。
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コメント

こう解釈してみた。In初コメント

数式にできなかった人の数(1/20)
んと、とりあえず「ダウト。」
1/2時間進んだあと、1/4時間進んだ場合を考えて、以下時間を半分ずつにしていくとこが「ダウト。」
この条件だと、アキレスが亀に追いつくのは1時間後なのに対して、1/2、1/4、1/8と足していっても、永遠に1時間にはなり得ない。限りなく1時間に近くはなるけど。
ちょっと思い出したのがマンモスの複製。マンモスのDNAの一部をアジア象と掛け合わせて、というのを何度も繰り返して、限りなくマンモスに近い(遺伝子的には98%強でマンモスと同じだとか何だとか。)象を生み出す実験ってのをどこかで聞いたような・・。

  • 2005/05/28(土) 17:03:07 |
  • URL |
  • 伯約 #-
  • [ 編集]

マスター今晩は☆
初書き込みだよ~。

「アキレスと亀」俺が高校生のとき科学雑誌のニュートンって雑誌に出ていて、親父と議論したよー懐かしい。
これの応用題もあったような気が…。

だけど答え忘れた(笑)。
教科書見直して復習しておきます。

  • 2005/05/29(日) 00:39:43 |
  • URL |
  • 少年 #-
  • [ 編集]

>伯さん
初カキコありがとん(`・ω・´)
まだ答えは言えないけど、正解です(イッチャッテルイッチャッテル
あとは何故1時間後に追いつくってのが分かるかって事だけですね。
おそらく分かってると思いますが。
マンモスの話は青学の英語の過去もんの長文で
読んだことがあるかも(微妙・・・
DNAのことは良くわからないけど、この問題と関係があるのですかな?

>少年A
こちらも初カキコありがとです(´∀` )高校の時からそのような雑誌を・・・(汗)
すごいすごい(´・ω・`)
応用題も気になりますねぃー。覚えてたら今度ヨロシク!
まぁ解けないだろうけど・・・。



そうそう。前回と前々回のパズルの答えまだ書いてないので、
書いたら言いますねー。
遅くて申し訳ないっす。

  • 2005/05/29(日) 01:36:05 |
  • URL |
  • けんだま(管理人) #-
  • [ 編集]

うん!数式で考えなきゃいいと思うよ!

  • 2005/05/29(日) 05:16:23 |
  • URL |
  • かんそき #fpwaLjMk
  • [ 編集]

じゃぁ数式で考えないよ!
解答期待しててチョ。

  • 2005/05/30(月) 15:19:37 |
  • URL |
  • けんだま(管理人) #-
  • [ 編集]

WEB拍手で解答してしまった件について。。。

しかもまちがってらぁぁぁぁorz

  • 2005/06/02(木) 03:33:33 |
  • URL |
  • 選+ #-
  • [ 編集]

(´∀` )

OK,大丈夫。
後に使わせてもらいます(゚∀゚)

  • 2005/06/02(木) 21:13:02 |
  • URL |
  • けんだま(管理人) #-
  • [ 編集]

懐かしい極限の問題。
久々に思いだすことができました。

思い出す程度で素で回答はできませんでしたけど・・・

  • 2005/06/07(火) 12:52:35 |
  • URL |
  • なーじゃ #MmK7tK0o
  • [ 編集]

 まぁこれはひっかけ問題でしたからねぇ(´・ω・`)
俺も分からなかったですヽ(゚∀゚)ノ


何気にコメント多し(゚Д゚)
ほとんど俺ですが・・・(;´Д`)

  • 2005/06/07(火) 23:49:30 |
  • URL |
  • けんだま(管理人) #-
  • [ 編集]

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